В суперпозиционных локах наблюдаются закономерности:

1. Взаимодействию всех элементов из числа лок можно поставить в соответствие только единицу: (А)*(В)*… *(N) = 0.

2. Любому числу взаимодействующих объектов можно поставить в соответствие оставшееся число объектов: (А)*(В)*(С)*…*(Х) = (Y)*(Z)*….*(N).

3. Постановка в соответствие двум объектам третьего возможна, когда взаимодействию всех трёх объектов ставится в соответствие единица, тогда (X)*(Y)*(Z) = 0, (X)*(Y) = Z, (X)*(Z) = Y, (Y)*(Z) = X.

4. Если число лок кратно трём, то каждым трём объектам можно ставить в соответствие единицу. Например, для (А)*(В)(C)*(D)*(E)*(F)*(G)*(H)*(I) = 0, будет (А)*(В)(C) = 0, (D)*(E)*(F) = 0, (G)*(H)*(I) = 0.

Теорема 22.

Если в суперпозиционной локе N общее число входящих лок 2 кратно трём, то взаимодействию каждых трёх различающихся выбранных объектов можно поставить в соответствие единицу, так, чтобы при этом в каждой «тройке» не присутствовал объект от других «троек».

Доказательство.

1. Если (А)*(В)*(С) = 0, …., (X)*(Y)*(Z) = 0, …, (L)*(M)*(N) = 0, то это не будет противоречить тому, что (А)*(В)*… *(N) = 0, так как частичная или полная совокупность таких взаимодействующих «троек» будет соответствовать условию (А)*(В)*(С)*…* (X)*(Y)*(Z) = (K)*(L)*….*(N).

2. Так как любую «тройку» можно заменить единицей, то взаимодействие остальных объектов не нарушается.

Теорема 23. Если в число слагающих суперпозиционную локу N двухполярных лок кратно трём, то постановка в соответствие двум объектам третьего возможна только в каждой «тройке».

Доказательство.

1. Если (А)*(В)*(С) = 0 и любое другое взаимодействие трёх объектов (X)*(Y)*(Z) = 0, то (X)*(Y) = Z не вносит противоречие, так как в любом числе взаимодействий, заменяя (X)*(Y), получим (Z)*(Z) = 0, что соответствует условию.

2. Если берём объект А из любого (А)*(В)*(С) = 0 и находим его в (А)*(Y)*(Z) = 0, то из (А)*(В)*(С) = (X)*(Y)*(Z) получим, заменой А = (Y)*(Z), (А)*(В)*(С) = (А)*(X), то есть (В)*(С) = Х. Однако из (А)*(В)*(С) = 0 будет (В)*(С) = А.

«Кватернионы» были первым шагом к введению изоморфных четырёхполярных пространств в суперпозицию. Пропущены не только двухполярные, но и трёхполярные пространства, которые могут вводиться в суперпозицию Необходимость в том, например, для создания математического аппарата кварков.

Если взять две трёхполярных локи, то законы отношений таких лок будут: а) (А)*(В) = 0, (В)*(В) = А, (А)*(А) = В; б) (С)*(D) = E, (C)*(C) = D, (D)*(D) = C.

Теорема 24. В трёхполярной суперпозиционной локе 2 законы отношений будут:

а) (А)*(B) = (C)*(D);

b) (A)*(B)*(C)*(D) = 0; причём нельзя поставить в соответствие двум объектам третий.

Доказательство.

1. По условию (А)*(B) = (C)*(D). Из этого же условия (A)*(B)*(C)*(D) = 0.

2. В отношении (А)*(D) = (C)*(В) придём к противоречию;

3. Если (А)*(D) поставим в соответствие любой объект, то получим противоречие.

В такой суперпозиционной локе находятся три трёхполярных локи с объектами A, B, C, D, E, F, 0. Так как неизвестными будут отношения между объектами различающихся лок, то определяем их.

Теорема 25.

В трёхполярной суперпозиционной локе 3 законы отношений к уже известным будут:

а) (A)*(B)*(C)*(D)*(E)*(F) = 0;

b) (A)*(B)*(C)*(D)*(E) = F2; (A)*(B)*(C)*(D)*(F) = E2; (A)*(B)*(C)*(E)*(F) = D2; (A)*(B)*(D)*(E)*(F) = C2; (A)*(C)*(D)*(E)*(F) = B2; (B)*(C)*(D)*(E)*(F) = A2, …

с) (А)*(C)*(E) = 0, (B)*(D)*(F)= 0.

d) (A)*(C) = F, (B)*(D) = E, (A)*(E) = D, (B)*(F) = C. (С)*(Е) = В.

Доказательство.

1. По условию (A)*(B) = 0, (C)*(D) = 0, (E)*(F) = 0 следовательно (A)*(B)*(C)*(D)*(E)*(F) = 0;

2. По условию также (A)*(B)*(C)*(D) = (E)*(F), откуда (A)*(B)*(C)*(D)*(E) = (Е)*(E)*(F) = (F)*(F), то есть F2, точно так же и для остальных взаимодействий.

3. Для (A)*(C)*(E) = 0, так как нельзя поставить в соответствие А, С, Е иначе они выполнят роль 0. Нельзя так же поставить в соответствие B, D, F иначе (А)*((А)*(С)*(Е)) = (В)*(А) = 0, то есть (В)*(С)*(Е) = (А)*(С)*(Е), откуда А? В. Аналогично для D и F.

4. Так же доказываем для (В)*(D)*(F) =0.

5. Производим взаимодействие (A)*(C)*(E) = 0 с В. Получим (0)*(С)*(Е) = В, то есть В = (С)*(Е). Аналогично для других «пар», перечисленных в п. d).

Пример 13.

Представим три «цвета», или три кварка так, что Q_1, Q_2, Q_3 — кварки, q_1, q_2, q_3 — антикварки. Напишем Янтры трёх трехполярных лок: Кварк Q_1 и антикварк q_1 взаимодействуют так, что (Q_1)*(q_1) = 0.