Доказательство формулы для общего случая требует знания так называемой теории вычетов и замечательной теоремы, известной под названием «китайской теоремы об остатках». Она играет важную роль в доказательстве многих нетривиальных теорем теории чисел и решении многих научных проблем.

В качестве упражнения попробуйте вывести «тайную» формулу для упрощенного варианта того же фокуса, восходящего к Сунцзу, китайскому математику, жившему в 1 в., одному из тех ученых, в честь которых теорема об остатках получила название китайской. Задумывать разрешается любое число от 1 до 105. Делить задуманное число следует на 3, 5 и 7. «Тайная» формула оказывается в этом случае столь простой, что после некоторой тренировки вы сможете проделывать все необходимые вычисления «в уме».

Прежде чем закончить свою прогулку, Боб и Элен решили заглянуть в зоопарк. В одном вольере они увидели жирафов и страусов.

Выйдя из зоопарка, Боб обратился к Элен.

Боб. Ты не пересчитала жирафов и страусов?

Элен. Нет, а сколько их было?

Боб. Сосчитай сама. Всего у страусов и жирафов было 80 глаз и 44 ноги.

Элен сразу сообразила: 30 глаз означает, что в вольере было 15 животных.

Элен. Я могла бы перебрать все возможные случаи от 6 жирафов и 15 страусов до 15 жирафов и 0 страусов, но в этом нет надобности.

Элен. Если бы все 15 животных ходили на 2 ногах, то всего у них было бы 30 ног.

Элен. Но ты, Боб, сказал, что у 15 животных 44 ноги, поэтому 14 ног «лишних». Они могут принадлежать только жирафам. Значит, в вольере 7 жирафов.

Боб. Все правильно! А раз в вольере 7 жирафов, то страусов должно быть 8.

Идея, позволившая Элен найти решение задачи, проста, но, может быть, вам хочется проверить ответ алгебраически? Сходится ли ваш ответ с тем, который получился у Элен?

А вот забавная головоломка, придуманная по образу и подобию предыдущей задачи, но требующая для решения иного подхода. На арене небольшого цирка выступает группа наездников. Если пересчитать участников номера (лошадей и всадников) по головам и ногам, то всего наберется 18 голов и 50 ног. Кроме того, в зверинце при цирке содержатся дикие животные. Если пересчитать их по головам и ногам, то получится 11 голов и 20 ног. Среди них четвероногих вдвое больше, чем двуногих. Сколько наездников и лошадей выступает в цирке и сколько диких животных содержится в его зверинце?

Вы без особого труда найдете, что в цирке выступают 11 наездников на 7 лошадях. Но когда вы попытаетесь определить число диких животных, то, к своему удивлению, получите отрицательное число.

Удастся ли вам решить задачу самостоятельно, не заглядывая в конец книги?

Когда друзья дошли до того места, где стояла спортивная машина Боба, он предложил подвести Элен к дому, куда недавно переехали ее родители.

По дороге Боб придумал для Элен хорошую задачку.

Боб. Видишь вой тот грузовик впереди? Он гонит вовсю, но я постараюсь его догнать.

Боб. Предположим, что грузовик делает 65 км/ч, а я еду со скоростью 80 км/ч.

Боб. Предположим также, что мы находимся сейчас в 1500 м от грузовика.

Боб. Если шофер грузовика и я будем выдерживать каждый свою скорость и я не сверну, мы заведомо врежемся в грузовик. Вот тебе и задачка, Элен: на каком расстоянии от грузовика мы будем за 1 мин до столкновения?

Элен. Ты мог бы придумать задачку потруднее. За 1 мин до столкновения нас будет разделять 250 м.

Элен не ошиблась. Не можете ли вы объяснить, каким образом она сумела так быстро решить задачу?

Разумеется, задачу можно решать алгебраически, хотя решение получается довольно громоздким. Элен придумала неожиданный ход, позволивший получить ответ, не прибегая к алгебре: она догадалась, что задачу можно решать от конца к началу!

Грузовик развивает скорость 65 км/ч, а Боб едет со скоростью 80 км/ч. Следовательно, Боб движется относительно грузовика со скоростью 15 км/ч, или 15 000 м/ч, что составляет 250 м/мин. Значит, за минуту до столкновения легковая машина, в которой едут Боб и Элен, находится в 250 м позади грузовика.

Мы знаем также, что, когда Боб закончил рассказывать Элен задачу, их автомашина находилась в 1,5 км позади грузовика, но эта информация не нужна для решения задачи: ответ получается одним и тем же независимо от начального расстояния между машинами.